Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Fünfecke, Zehnecke, Ikosaeder

Fünfecke:
Alle Strecken im regelmäßigen Fünfeck mit einbeschriebenen Diagonalen stehen zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnittes .Jweils zwei Diagonalen teilen sich jeweils im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

mit a/b = b/c = c/d

Zehnecke:
Beim Kreis ergibt der Goldene Schnitt des Radius' die Seitenlänge des einbeschriebenen regelmäßigen Zehnecks. Umgekehrt erlaubt die geometrische Konstruktion Nr. 1 die Zeichnung eines regulären Zehnecks bzw. Fünfecks bei gegebenem Radius. Der Zusammenhang mit der ersten geometrischen Konstruktion des Goldenen Schnittes wird in der rechten Zeichnung illustriert:

mit a/b = g

Ein regelmäßiges Zehneck zeichnet man, indem man auf dem Radius den Goldenen Schnitt herleitet und diesen dann zehnmal am Umfang des Kreises abträgt.

Das Bestimmungsdreieck:
Beide Figuren, sowohl das regelmäßige Fünfeck als auch das regelmäßige Zehneck, enthalten als Schlüsselfigur das Bestimmungsdreieck, ein gleichschenkliges Dreieck ABM mit den Winkeln 36° und zweimal 72°. Die Winkelhalbierende in A teilt das Bestimmungsdreieck in zwei weitere Dreiecke und die Strecke BM in C. Das Dreieck ABC wird als "Spitzes Goldenes Dreieck" bezeichnet, weil sich die Länge eines Schenkels zur Länge der Basis im Goldenen Schnitt verhält. Das Dreieck CAM dagegen wird als "Stumpfes Goldenes Dreieck" bezeichnet.

Ikosaeder:
Der Ikosaeder ist ein platonischer Körper (konvexer Körper, dessen Oberfläche aus kongruenten, gleichseitigen Vielecken besteht und in dessen Ecken stets gleich viele Flächen zusammentreffen) aus 20 gleichseitigen Dreiecken. An jeder Ecke eines Ikosaeders kommen 5 gleichseitige Dreiecke zusammen.

Die Verwandtschaft zu Fünfecken und Zehnecken kommt zum Tragen, wenn man sieht, daß jeweils fünf Dreiecke zusammen ein Fünfeck bilden (insgesamt sechs), und daß jeweils zwei Fünfecke parallel zueinanderstehen, aber um 54° gegeneinander verdreht sind:

Je zwei gegenüberliegende Kanten des Ikosaeders gehören zu einem Goldenen Rechteck, weil die längere Seite des Rechtecks die Diagonale eines der Fünfecke aus fünf Dreiecken darstellt. Das Grundgerüst eines Ikosaeders besteht demnach aus drei jeweils zueinander senkrechten Goldenen Rechtecken, die sich gegenseitig durchdringen.

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