Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (8)

Geometrische Konstruktion Nr. 22, 23, 24 und 25:
Eine ganze Reihe von Konstruktionen sind zwar keine konkreten Anleitungen zur Erzeugung des Goldenen Schnittes, illustrieren aber formschön die Zusammenhänge. Bei diesen vier hier vorgestellten Konstruktionen wird aufgrund zweier voneinander abhängiger Größen geometrisch eine quadratische Gleichung des Typs ax^2 + bx + c = 0 erzeugt. Für den Fall, daß a = 1, b = 1, c = -1 ist die sinnvolle Lösung 0.61803......, für den Fall, daß a = 1, b = -1, c = -1 ist die sinnvolle Lösung 1.61803...... In diesem Sinne sind diese vier Konstruktionen alle gleich.

Konstruktion 22: Wenn in einem beliebigen rechtwinkligen Dreieck der Punkt C so gewählt wird, daß die kleinere Kathete a genauso lang ist wie der längere Hypotenusenabschnitt d, der durch das Lot von C auf die Hypotenuse erzeugt wird, so teilt das Lot die Hypotenuse im Goldenen Schnitt.

Konstruktion 23 (gesehen bei Hans Walser, Übungen zu Vorlesungen in Elementargeometrie 2006): In ein Quadrat wird mittig ein anderes Quadrat Q einbeschrieben, dessen Ecken so mit den Seiten des urspünglichen Quadrates verbunden sind, daß es von vier Rechtecken R mit gleichen Maßen umgeben wird. Für den Fall, daß alle fünf Flächen gleich groß sind, verhalten sich Seitenlänge des inneren Quadrates und die kürzere Rechteckkante zueinander wie der Goldene Schnitt.

Konstruktion 24 (gesehen bei Hans Walser, Übungen zu Vorlesungen in Elementargeometrie 2006): In ein Quadrat wird ein anderes Quadrat Q einbeschrieben, dessen Ecken so mit den Ecken des urspünglichen Quadrates verbunden sind, daß es von vier Trapezen T mit gleichen Maßen umgeben wird. Für den Fall, daß alle fünf Flächen gleich groß sind, verhalten sich Seitenlänge a des inneren Quadrates und die Trapezhöhe b zueinander wie der Goldene Schnitt.

Geometrische Konstruktion Nr. 25 (nach Hans Walser, Der Goldene Schnitt 2004):
Es werde ein Kreuz konstruiert, dessen sämtliche Strecken gleich groß sind. Zu diesem Kreuz wird ein flächengleiches Quadrat konstruiert. Wenn man dann die beiden Figuren mit ihren Mittelpunkten exakt aufeinander legt, verhalten sich die durch die Kreuzarme erhaltenen Restabschnitte der Quadratseitenlänge zur Kreuzarmbreite wie der Goldene Schnitt.

Geometrische Konstruktion Nr. 26 (nach Hans Walser, Übungen zu Vorlesungen in Elementargeometrie 2006):
Ein Quadrat wird an zwei gegenüberliegenden Seiten mit je zwei Halbkreisen belegt, deren Radius ein Viertel der Quadratseite beträgt. In die verbleibende Freifläche wird ein Füllkreis konstruiert. Der Durchmesser des Füllkreises und die Seitenlänge des Quadrates verhalten sich zueinander wie der Goldene Schnitt.

Der Beweis offenbart, da es sich hierbei um eine Variation der Konstruktion Nr. 1 handelt, bei der erst eine Diagonale in einem 2:1-Dreieck erzeugt wird, von der dann nicht Eins wie in Konstruktion 1, sondern zweimal 1/2 abgezogen wird (Halbkreisradien).

Geometrische Konstruktion Nr. 27 (nach Hans Walser, Der Goldene Schnitt 2004):
In ein Quadrat wird ein gleichschenkliges Dreieck konstruiert, in dieses ein Kreis, beide maximaler Größe. Der Durchmesser des Inkreises verhält sich zur Kantenlänge des Quadrates wie der Goldene Schnitt. Wie die Konstruktion Nr. 19 ist auch diese hier ein schönes Beispiel, wie drei elementare geometrische Figuren, Quadrat, Dreieck und Kreis zusammenspielen und gemeinsam den Goldenen Schnitt erzeugen. Im Unterschied zu Konstruktion 19, wo der Kreisradius der Minor war, ist hier der Kreisdurchmesser der Maior.

Geometrische Konstruktion Nr. 28 (nach Hans Walser, Der Goldene Schnitt 2004):
Gegeben sei eine Strecke AB, die im Goldenen Schnitt verlängert werden soll. An diese Strecke wird ein gleichseitiges Dreieck ABC konstruiert, an dieses ein Quadrat BCDE, alle mit der Kantenlänge AB. Der neue dem Dreieck und dem Quadrat gemeinsame Punkt C wird Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius der Diagonalen des Quadrates CE. Der Schnittpunkt F des Kreises mit der Verlängerung der Strecke AB liefert die Verlängerung derselben im Goldenen Schnitt, analog der andere Schnittpunkt G. Auch hier wieder ein Beispiel, wie drei elementare geometrische Figuren, Quadrat, Dreieck und Kreis zusammenspielen und gemeinsam den Goldenen Schnitt erzeugen.

Beweis: Die Strecke CF ist der Kreisradius, welcher sich aus der Diagonale CE des Quadrates ergibt. Kreisradius (Hypotenuse) und Höhe des gleichseitigen Dreiecks CH (kürzere Kathete) spannen ein rechtwinkliges Dreieck CHF auf, dessen längere Kathete HF abzüglich der halben Strecke AB die Verlängerungseinheit BF liefert, welche zu AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht.

Literatur:
Hans Walser, Der Goldene Schnitt, 4. Auflage 2004, Edition am Gutenbergplatz, Leipzig, ISBN 3-937219-00-5
Hans Walser, Mathematik für die Sekundarstufe 1, Der Goldene Schnitt, Vorlesung 2006, Universität Basel.
Hans Walser, Mathematik für die Sekundarstufe 1, Der Goldene Schnitt - Lernumgebung, Vorlesung 2006, Universität Basel.

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