Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (7)

Geometrische Konstruktion Nr. 20:
Eine weitere Hofstetter-Konstruktion aus dem Jahre 2004, die noch einfacher aussieht und die den Goldenen Schnitt ebenfalls in 5 Schritten anhand einer Geraden mit nur drei Kreisen erzeugt. Die Strecke P1P2 sei zu teilen. P1P2 ist gleich dem Radius der Kreise K1 und K2, die um P1 und P2 geschlagen werden. Den Punkt A erhält man durch Verlängerung der zu teilenden Strecke bis ans äußerste Ende des Kreises K2. Um A wird ein Kreis K3 mit dem Radius 2r geschlagen. Der Schnittpunkt von K1 mit K2 sei B, der Schnittpunkt - auf der gegenüberliegenden Seite - von K3 mit K1 sei C. Die Verbindungslinie zwischen B und C schneidet die Strecke P1P2 in D. D teilt die Strecke P1P2 im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Geometrische Konstruktion Nr. 21:
Eine weitere Konstruktion, ebenfalls von Kurt Hofstetter (2005), teilt eine gegebene Strecke AB im Goldenen Schnitt unter Verwendung von Lineal und Zirkel, wobei nur eine einzige Kreisgröße benutzt wird. Das nennt man auch eine Konstruktion "mit dem rostigen Zirkel", weil die Öffnung des Zirkels wie festgerostet im Laufe der Konstruktion nicht verändert wird.

Eine Strecke AB habe zwei Endpunkte, A und B, sowie einen Mittelpunkt C. Um jeden dieser drei Punkte wird ein Kreis mit dem Radius AB geschlagen. Die Kreise bilden oberhalb und unterhalb der zu teilenden Strecke jeweils drei Überschneidungspunkte. Die Verbindungslinie zwischen einem mittigen Kreuzungspunkt zu einem gegenüberliegenden äußeren Überschneidungspunkt teilt die ursprüngliche Strecke im Sinne des Goldenen Schnittes (Innere Teilung) in Punkt F. Es handelt sich bei gegebener Strecke AB um eine Fünf-Schritt-Konstruktion: 2 Kreise, Mittelteilung, dritter Kreis, Verbindungslinie.

Beweis: Der Beweis läßt sich analog zur Konstruktion 20 führen. Dazu muß nur bewiesen werden, daß der Abstand GD = 2 AB ist. Dann liegt nämlich D auf dem Kreis um G mit einem Radius von 2AB und entspricht dem Punkt C in Konstruktion 20. Damit gilt der Beweis in Konstruktion 20 auch hier.

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