Bernhard Peter
Der Goldene Schnitt - Geometrische Konstruktionen (4)

Geometrische Konstruktion Nr. 14:
Diese Konstruktion geht von einem pythagoreischen Dreieck ABC aus, natürlich ein rechtwinkliges Dreieck, mit den Seitenlängen 3 - 4 - 5 (3^2 + 4^2 = 5^2, 9 + 16 = 25, ägyptisches Dreieck). Die Winkelhalbierende durch den Punkt C schneide die längere Kathete AB im Punkt D. Um den Punkt D wird ein Kreis K geschlagen mit dem Radius AD. Der Kreis schneidet die Winkelhalbierende durch C und D in den beiden Punkten F und G. Der Durchmesser FG des Kreises K verhält sich zur Strecke CG wie die verbleibende Strecke CF zum Durchmesser FG des Kreises K, die Streckenabschnitte stehen also im Verhältnis des Goldenen Schnittes zueinander.

Geometrische Konstruktion Nr. 15:
Eine Konstruktion über ein gleichseitiges Dreieck stammt von Alfred Hoehn. Ein Quadrat ABCD habe die Seitenlänge 2. Um B wird ein Kreis K1 mit dem Radius der Grundstrecke AB geschlagen. Um A wird ein Kreis K2 mit dem Radius AB geschlagen. Beide Kreise schneiden sich in F. Das Lot von F auf die Grundstrecke AB ist E. Die drei Punkte A, B und F bilden ein gleichseitiges Dreieck. Um F wird ein Kreis K3 mit dem Radius AC (Diagonale des Quadrates) geschlagen, welcher die Verlängerung der Grundlinie AB in Punkt G schneidet. Der Punkt B teilt die Strecke AG im Goldenen Schnitt. Diese Methode ist eine sehr einfache Art, eine beliebige Strecke im Goldenen Schnitt zu verlängern. Außerdem ist diese Konstruktion bei der Mascheroni-Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks zu finden.

Variation der geometrischen Konstruktion Nr. 15:
Das Erstaunlichste an dieser Konstruktion von Alfred Hoehn ist aber, daß sie nicht nur für Quadrate mit einem gleichseitigen Dreieck gilt, sondern auch für Rechtecke mit ihren gleichschenkligen Dreiecken, die wie oben gezeigt gewonnen werden! Ein Rechteck ABCD habe beispielsweise die Seitenlängen 2 und 4. Um B wird ein Kreis K1 mit dem Radius der Strecke BC geschlagen. Um A wird ein Kreis K2 mit dem Radius AD geschlagen. Beide Kreise schneiden sich in F. Das Lot von F auf die Grundstrecke AB ist E und halbiert diese. Die drei Punkte A, B und F bilden ein gleichschenkliges Dreieck. Um F wird ein Kreis K3 mit dem Radius AC (Diagonale des Rechecks) geschlagen, welcher die Verlängerung der Grundlinie AB in Punkt G schneidet. Der Punkt B teilt die Strecke AG im Goldenen Schnitt.

Dies kann man beliebig für Rechtecke unterschiedlichster Seitenverhältnisse durchführen - wie man aus den beiden oben angeführten Beweisen sieht, "verschwindet" die Strecke BC quasi aus der Berechnung, entsprechend nennt Alfred Hoehn seine Studie auch "Die verschwundene Seite". Denn für die Strecke EG gilt immer:

Entsprechend kann man sich die Verlängerung einer gegebenen Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes ganz einfach machen: Senkrechte in B errichten, Zirkel beliebig weit öffnen, in B einstechen, Markierung auf der zuvor gezogenen Senkrechten abtragen, zur Mitte hin abtragen, in A einstechen, gleichen Radius zur Mitte hin abtragen, Zirkel auf AC weiten, im Kreuzungspunkt F einstechen und neues Maß auf die Verlängerung von AB abtragen.

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